$xy$平面の放物線 $y=x^2$ 上の3点 P, Q, R が次の条件をみたしている。
△PQR は一辺の長さ $a$ の正三角形であり、点 P, Q を通る直線の傾きは $\sqrt{2}$ である。
このとき、$a$ の値を求めよ。

相異なる3点$A,B,C$が正三角形をなす
（※外心、重心、内心、垂心をそれぞれ$O,G,I,H$とする）

⇔　$\angle ABC=\angle BCA=\angle CAB$ （3角相等）
⇔　$AB=BC=CA$ （3辺相等）
⇔　$\overrightarrow{AB}$が$\overrightarrow{AC}$を$\pm 60$°回転させたベクトルである
⇔　$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\frac12|\overrightarrow{AB}|^2=\frac12|\overrightarrow{AC}|^2$
⇔　$M$を$AB$の中点としたとき、$\overrightarrow{MC}$は$\overrightarrow{AB}$に垂直で、大きさが$\frac{\sqrt3}{2}$倍である
⇔　$\angle AOB=\angle BOC=\angle COA$ （外心からみて、頂点が互いに120°をなしている）
⇔　$O,G,I,H$のうちいずれかが一致する
⇔　内接円、外接円の半径をそれぞれ$r,R$としたとき、$R=2r$（オイラーの不等式の等号成立条件）

点$(0,k)$を通る傾き1の直線が、中心$(0,1)$,半径1の円$C$と異なる2点$P,Q$で交わるとする。

線分$PQ$が円$C$に内接する正三角形の1辺となるとき、実数$k$の値を求めよ。

（南山大2011抜粋）

複素数平面上に3点$A(z),B(z^3),C(z^5)$がある。
$A,B,C$が正三角形の頂点になるとき、$z^2$の値を全て求めよ。

（名古屋工大2019抜粋）

$xy$座標平面の2つの領域
$D_1:(x-3)^2+y^2\le 1,$
$D_2:x^2+(y-\sqrt{3})^2\le 1$
を考える。

直線 $y=-x$ 上の点 $P(a,-a)$ に対して，次の条件を満たすような $a$ の範囲を求めよ。

条件：領域 $D_1$ の点 $Q$ と領域 $D_2$ の点 $R$ で，3点 $P,Q,R$ が正三角形をなすものが存在する。

（東大模試）

複素数平面において，円周 $|z|=1$ 上の異なる3点 $z_1,z_2,z_3$ を考える。このとき，次の条件 $p$ と $q$ は同値であることを示せ。

$p$：$z_1,z_2,z_3$ を頂点とする三角形が正三角形である　　$q$：$z_1+z_2+z_3=0$

（上智大2019）

$a$ を $1$ より大きい実数とし，$xy$ 平面上の曲線 $C_1:y=a^x$ および曲線 $C_2:y=\log_a x$ について考える。原点を $O$ とし，$C_1$ 上に点 $P$，$C_2$ 上に点 $Q$ をとる。このとき，以下の各問いに答えよ。

(1)　$O$ を通る傾き $k$ の直線が $C_1$ に接するとき，$a$ の値を $k$ を用いて表せ。また，接点の座標を $a$ を用いて表せ。

(2)　$O$ を通る直線が $C_2$ に接するとき，接点の座標を $a$ を用いて表せ。

(3)　$\triangle OPQ$ が正三角形となるような $P,Q$ の組の個数を，$a$ の値で場合分けして求めよ。

（科学大医療系2025）