実数 $x$ の小数部分を，$0\le y < 1$ かつ $x-y$ が整数となる実数 $y$ のこととし，これを記号 $\langle x\rangle$ で表す。実数 $a$ に対して，無限数列 ${a_n}$ の各項 $a_n\ (n=1,2,3,\cdots)$ を次のように順次定める。

(i)　$a_1=\langle a\rangle$

(ii)　$a_n\ne0$ のとき，$a_{n+1}=\left\langle\frac{1}{a_n}\right\rangle$
　　　$a_n=0$ のとき，$a_{n+1}=0$

(1)　$a=\sqrt{2}$ のとき，数列 ${a_n}$ を求めよ。

(2)　任意の自然数 $n$ に対して $a_n=a$ となるような $\frac{1}{3}$ 以上の実数 $a$ をすべて求めよ。

(3)　$a$ が有理数であるとする。$a$ を整数 $p$ と自然数 $q$ を用いて $a=\frac{p}{q}$ と表すとき，$q$ 以上のすべての自然数 $n$ に対して，$a_n=0$ であることを示せ。