$f(x)=x^2+4n\cos x+1-4n\ (n=1,2,3,\dots)$ として，以下の問に答えよ。

(1)　各 $n$ に対して, $f(x)=0,\ 0 < x < \frac{\pi}{2}$ をみたす実数 $x$ がただ1つずつあることを示せ。

(2)　(1) の条件をみたす $x$ を $x_n$ とするとき，$\lim_{n\to\infty} x_n = 0$ であることを示せ。

(3)　極限値 $\lim_{n\to\infty} n x_n^2$ を求めよ。

（防衛医科大）

定数 $a$ が $0 < a < \frac{\pi}{2}$ を満たすとき，次の方程式を考える。

$x(1-\cos x)=\sin(x+a)$

(1)　$n$ を正の整数とするとき，上の方程式は $2n\pi < x < 2n\pi+\frac{\pi}{2}$ の範囲でただ 1 つの解をもつことを示せ。

(2)　(1) の解を $x_n$ とおくとき，極限 $\lim_{n\to\infty}(x_n-2n\pi)$ を求めよ。

(3)　極限 $\lim_{n\to\infty}\sqrt{n},(x_n-2n\pi)$ を求めよ。ただし，$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ を用いてよい。

(滋賀医大2015)