ブックマーク
東大理系数学 2024-2
方針、略解
(1)
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動く図解
問題の背景
類題紹介
積分形で表された関数の問題を集めました。
$0\leqq z\leqq1$における、$\displaystyle{f(z)=\int_0^z\sqrt{x^4+(z-z^2)^2}dx}$の最大値を求めよ。 （パトナム数学コン1991）
・ $a, b$ を正の実数とし，$a>1$ とする。定義域を $x\ge 0$ とする連続関数 $f(x), g(x), h(x)$ が
次の 3 つの等式を満たしているとする。
$$f(x)=a\exp(-h(x))$$ $$g(x)=b\exp\left(\int_{0}^{x}(f(y)-1)\,dy\right)$$ $$h(x)=\int_{0}^{x}g(y)\,dy$$ ただし，$\exp(x)=e^{x}$ とする。このとき，$g(x)$ の最大値を求めよ。
（京大特色2026）
次の 3 つの等式を満たしているとする。
$$f(x)=a\exp(-h(x))$$ $$g(x)=b\exp\left(\int_{0}^{x}(f(y)-1)\,dy\right)$$ $$h(x)=\int_{0}^{x}g(y)\,dy$$ ただし，$\exp(x)=e^{x}$ とする。このとき，$g(x)$ の最大値を求めよ。
（京大特色2026）