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東大理系数学 2025-1

座標平面上の点$A(0,0),B(0,1),C(1,1),D(1,0)$を考える。実数$0< t < 1$に対して、線分$AB,BC,CD$を$t:(1-t)$に内分する点をそれぞれ$P_t,Q_t,R_t$とし、線分$P_tQ_t,Q_tR_t$を$t:(1-t)$に内分する点をそれぞれ$S_t,T_t$とする。さらに、線分$S_tT_t$を$t:(1-t)$に内分する点を$U_t$とする。また、点$A$を$U_0$,点$D$を$U_1$とする。

(1)点$U_t$の座標を求めよ。
(2)$t$が$0\leqq t\leqq 1$の範囲を動くときに点$U_t$が描く曲線と、線分$AD$で囲まれた部分の面積を求めよ。
(3)$a$を$0 < a < 1$を満たす実数とする。$t$が$0\leqq t \leqq a$の範囲を動くときに点$U_t$が描く曲線の長さを、$a$の多項式の形で求めよ。

方針、略解

(1)頑張って計算。一応、$t=0,1$で$U_t$が$A,D$に重なることや、$t\rightarrow 1-t$で$U_t$の$y$座標が不変かつ$x$座標は$x=\frac12$について反対に移ることを使って検算できる。

$(3t^2-2t^3,3t-3t^2)$

(2)典型的なパラメータ積分。$\frac{dx}{dt}\geqq0$の確認は怠らぬよう...。

$\frac35$

(3)$\sqrt{dx^2+dy^2}$を積分　→　根号を外す
（問題文に「$a$の多項式の形で求めよ」とあるので、$\frac{d}{dx}\int_0^a f(x)dx=f(x)$を考えるとインテグラルの中身も多項式でなければならない。つまり根号は必ず外れる）

$2a^3-3a^2+3a$

動く図解

問題の背景

この「内分点の内分点の...」という操作を繰り返して得られる曲線は、一般にベジェ曲線[Bezier curve]という名称が付けられています。（※特に、この内分点の繰り返し操作のことをド・カステリョのアルゴリズムというそうです）　コンピューターグラフィックスをはじめとする様々な場面で使われる曲線です。例えば、いわゆる「ベクター画像」はこの方法を応用して曲線の情報を保存しているそうです。あとは、3Dゲーム等のアニメーションにおいて、カメラの座標をなめらかに移動させるときにも使われます。

点の数を5個にしたものを掲示しておきます。(触って動かせます)

ベジェ曲線のように「いくつかの点の間を補間する曲線」はスプライン曲線と呼ばれ、他にもたくさんの種類があります。これについては下のFreya Holmér氏の動画が詳しいです。後半で行列が出てきますが、高校範囲で全然理解できると思います。とても分かりやすいのでぜひ視聴してみてください！

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