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東大理系数学 2025-4
この問いでは，0以上の整数の2乗になる数を平方数と呼ぶ。aを正の整数とし，
$f_a(x)=x^2+x-a$ とおく。
(1) $n$を正の整数とする。$f_a(n)$ が平方数ならば，$n\le a$ であることを示せ。
(2) $f_a(n)$ が平方数となる正の整数 $n$ の個数を $N_a$ とおく。次の条件 (i)，(ii) が同値であることを示せ。
・(i) $N_a=1$ である。
・(ii) $4a+1$ は素数である。
(1) $n$を正の整数とする。$f_a(n)$ が平方数ならば，$n\le a$ であることを示せ。
(2) $f_a(n)$ が平方数となる正の整数 $n$ の個数を $N_a$ とおく。次の条件 (i)，(ii) が同値であることを示せ。
・(i) $N_a=1$ である。
・(ii) $4a+1$ は素数である。
問題の背景
(1)は連続する平方数で挟むタイプの問題です。平方数絡みの整数問題の常套手段といってもよいでしょう。"離散的"な性質を持つ整数ならではの方法です。
(2)は2次不定方程式[因数分解型]に帰着させて解く問題です。
一般に、（2変数の2次式）= 0の形の2次不定方程式の整数解は、2次曲線上の格子点を考えることと等しく、これは何らかの方法により解けることが知られており、完全に分類もなされています。（ペル方程式型、因数分解型、判別式型、vieta jumping...）
余裕があれば、ペル方程式$x^2-Dy^2=1$の解法を調べておくと役に立つかもしれません。（本問とは関係ないですが...）
類題紹介
「オーダーが同じ物で挟む」やつを集めました。
(一橋大2001)
$a, b, c$ を正の定数とし，$x$ の関数 $f(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+c$ を考える。以下，定数はすべて実数とする。
(1) 定数 $p, q$ に対し，次をみたす定数 $r$ が存在することを示せ。
$x\ge 1$ ならば $|px+q|\le rx$
(2) 恒等式 $(\alpha-\beta)(\alpha^{2}+\alpha\beta+\beta^{2})=\alpha^{3}-\beta^{3}$ を用いて，次をみたす定数 $k, l$ が存在することを示せ。
$x\ge 1$ ならば $\left|\sqrt[3]{f(x)}-x-k\right|\le \dfrac{l}{x}$
(3) すべての自然数 $n$ に対して，$\sqrt[3]{f(n)}$ が自然数であるとする。このとき関数 $f(x)$ は，自然数の定数 $m$ を用いて $f(x)=(x+m)^{3}$ と表されることを示せ。
(阪大2011)
(1) 定数 $p, q$ に対し，次をみたす定数 $r$ が存在することを示せ。
$x\ge 1$ ならば $|px+q|\le rx$
(2) 恒等式 $(\alpha-\beta)(\alpha^{2}+\alpha\beta+\beta^{2})=\alpha^{3}-\beta^{3}$ を用いて，次をみたす定数 $k, l$ が存在することを示せ。
$x\ge 1$ ならば $\left|\sqrt[3]{f(x)}-x-k\right|\le \dfrac{l}{x}$
(3) すべての自然数 $n$ に対して，$\sqrt[3]{f(n)}$ が自然数であるとする。このとき関数 $f(x)$ は，自然数の定数 $m$ を用いて $f(x)=(x+m)^{3}$ と表されることを示せ。
(阪大2011)
ここからは「2元2次不定方程式」の諸問題です。
整数$x,y$に関する不定方程式$x^2-y^2=2022$が解をもたないことを示せ。 （10秒問題）
偶奇性
$p,q$を3以上の素数とする。
$\sqrt{N+\sqrt{pq}}$が実数となり、かつ二重根号を外した形にできるような整数$N$の値を$p,q$を用いて全て求めよ。
ただし、「$\sqrt{X+\sqrt{Y}}$の形の二重根号が外せる場合は、必ず、正の有理数$a,b$(平方因子があってもよい)を用いて$\sqrt{a}+\sqrt{b}$の形で書けるときに限る」ことは示さずに使ってよい。 （自作問題）
$\sqrt{N+\sqrt{pq}}$が実数となり、かつ二重根号を外した形にできるような整数$N$の値を$p,q$を用いて全て求めよ。
ただし、「$\sqrt{X+\sqrt{Y}}$の形の二重根号が外せる場合は、必ず、正の有理数$a,b$(平方因子があってもよい)を用いて$\sqrt{a}+\sqrt{b}$の形で書けるときに限る」ことは示さずに使ってよい。 （自作問題）
対称性より、$p\geqq q$としてよい。有理数$s,t$を用いて$\sqrt{N+\sqrt{pq}}=\sqrt{s}+\sqrt{t}$と書ける。このとき両辺を二乗して、$N+\sqrt{pq}=s+t+\sqrt{4st}$ $s,t$は有理数なので、$pq=4st$.したがって$N=s+t$.解と係数の関係より、2次方程式$x^2-Nx+\frac{pq}{4}=0$が正の有理数解のみを持てばよい。
よって判別式$N^2-pq$が平方数である事が必要(∵ $N^2-pq$は整数)。以下、整数$N,M(M\geqq0)$についての不定方程式$N^2-M^2=pq\Leftrightarrow(N+M)(N-M)=pq$を解く。
$N+M\geqq N-M\geqq0$より、
$\begin{pmatrix} N+M\\N-M \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} pq\\1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} p\\q \end{pmatrix} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{pmatrix} N\\M \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{pq+1}{2}\\\frac{pq-1}{2} \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} \frac{p+q}{2}\\\frac{p-q}{2} \end{pmatrix} $
いずれも$N,M$ともに正の整数となっており適する。 逆にこのとき、
$N=\frac{pq+1}{2}$のときは、$\sqrt{\frac{pq+1}{2}+\sqrt{pq}}=\frac{1}{\sqrt{2}}+\sqrt{\frac{pq}{2}}$
$N=\frac{p+q}{2}$のときは、$\sqrt{\frac{p+q}{2}+\sqrt{pq}}=\sqrt{\frac{p}{2}}+\sqrt{\frac{q}{2}}$
となり適当。$\therefore \underline{\boldsymbol{N=\frac{pq+1}{2},\frac{p+q}{2}}}$
よって判別式$N^2-pq$が平方数である事が必要(∵ $N^2-pq$は整数)。以下、整数$N,M(M\geqq0)$についての不定方程式$N^2-M^2=pq\Leftrightarrow(N+M)(N-M)=pq$を解く。
$N+M\geqq N-M\geqq0$より、
$\begin{pmatrix} N+M\\N-M \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} pq\\1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} p\\q \end{pmatrix} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{pmatrix} N\\M \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{pq+1}{2}\\\frac{pq-1}{2} \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} \frac{p+q}{2}\\\frac{p-q}{2} \end{pmatrix} $
いずれも$N,M$ともに正の整数となっており適する。 逆にこのとき、
$N=\frac{pq+1}{2}$のときは、$\sqrt{\frac{pq+1}{2}+\sqrt{pq}}=\frac{1}{\sqrt{2}}+\sqrt{\frac{pq}{2}}$
$N=\frac{p+q}{2}$のときは、$\sqrt{\frac{p+q}{2}+\sqrt{pq}}=\sqrt{\frac{p}{2}}+\sqrt{\frac{q}{2}}$
となり適当。$\therefore \underline{\boldsymbol{N=\frac{pq+1}{2},\frac{p+q}{2}}}$
$x, y$についての方程式
$x^2 - 6xy + y^2 = 9$ ……(＊)
に関する次の問いに答えよ。
(1) $x, y$がともに正の整数であるような(＊)の解のうち、$y$が最小であるものを求めよ。
(2) 数列 $a_1, a_2, a_3, \cdots$ が漸化式
$a_{n+2} - 6a_{n+1} + a_n = 0\quad (n=1,2,3,\cdots)$
を満たすとする。このとき、$(x,y) = (a_{n+1}, a_n)$ が(＊)を満たすならば、$(x,y) = (a_{n+2}, a_{n+1})$ も(＊)を満たすことを示せ。
(3) (＊)の整数解 $(x,y)$ は無数に存在することを示せ。
（千葉大2022）
$x^2 - 6xy + y^2 = 9$ ……(＊)
に関する次の問いに答えよ。
(1) $x, y$がともに正の整数であるような(＊)の解のうち、$y$が最小であるものを求めよ。
(2) 数列 $a_1, a_2, a_3, \cdots$ が漸化式
$a_{n+2} - 6a_{n+1} + a_n = 0\quad (n=1,2,3,\cdots)$
を満たすとする。このとき、$(x,y) = (a_{n+1}, a_n)$ が(＊)を満たすならば、$(x,y) = (a_{n+2}, a_{n+1})$ も(＊)を満たすことを示せ。
(3) (＊)の整数解 $(x,y)$ は無数に存在することを示せ。
（千葉大2022）
自然数からなる数列 $ {x_n},\ {y_n} $ を
$ x_n + y_n\sqrt{3} = (2+\sqrt{3})^n\qquad (n=1,2,3,\dots)$
で定める。このとき次の問いに答えよ。ただし，$\sqrt{3}$ が無理数であることは用いてよい．
(1) $x_n^2 - 3y_n^2 = z_n$ とするとき，$z_n$ を求めよ．
(2) (1)で定めた $z_n$ に対して，$u^2 - 3v^2 = z_n$ かつ $ (2+\sqrt{3})^n \le u + v\sqrt{3} < (2+\sqrt{3})^{n+1} $ を満たす自然数の組 $(u,v)$ は $(x_n,y_n)$ のみであることを数学的帰納法を用いて示せ．
（東大模試）
$ x_n + y_n\sqrt{3} = (2+\sqrt{3})^n\qquad (n=1,2,3,\dots)$
で定める。このとき次の問いに答えよ。ただし，$\sqrt{3}$ が無理数であることは用いてよい．
(1) $x_n^2 - 3y_n^2 = z_n$ とするとき，$z_n$ を求めよ．
(2) (1)で定めた $z_n$ に対して，$u^2 - 3v^2 = z_n$ かつ $ (2+\sqrt{3})^n \le u + v\sqrt{3} < (2+\sqrt{3})^{n+1} $ を満たす自然数の組 $(u,v)$ は $(x_n,y_n)$ のみであることを数学的帰納法を用いて示せ．
（東大模試）
正の整数$m,n$は$$m(m+2)=n(n+57)$$をみたす.このとき,$n$としてあり得る最大の値を求めよ。
（JJMO予選2016）
（JJMO予選2016）