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東大理系数学 2025-6

複素数平面上の点 $\frac12$ を中心とする半径 $\frac12$ の円の周りから原点を除いた曲線を $C$ とする。

(1)曲線 $C$ 上の複素数 $z$ に対し，$\frac{1}{z}$ の実部は $1$ であることを示せ。

(2)$\alpha,\ \beta$ を曲線 $C$ 上の相異なる複素数とするとき，$\frac{1}{\alpha^2}+\frac{1}{\beta^2}$ がとりうる範囲を複素数平面上に図示せよ。

(3)$\gamma$ を (2) で求めた範囲に属さない複素数とするとき，$\frac{1}{\gamma}$ の実部がとりうる値の最大値と最小値を求めよ。

方針、略解

(1)反転の問題。極座標表示が最速。

$z=\cos\theta(\cos\theta+i\sin\theta)$とおくと、$Re(\frac1z)=1$

(2)(1)を使いつつ、対称式の同値変形。真髄をやっている人は慣れてそう

直交座標で、$x < 2-\frac18y^2$が表す領域.

(3)2022年度の数C課程復活に合わせた出題。2次曲線の極方程式を利用する。

最大値は$\frac12$,最小値は$-\frac{1}{16}$

動く図解

「反転」の図解です。（本問は$\frac1z$となっているが、反転はさらにその複素共役を取ったものになる）

半径$\frac12$の円の中心を動かせます。$(\frac12,0)$にもっていくと境界が直線になるのが分かると思います。

本問(2)も一応可視化しておきました。$\alpha$と$\beta$を動かせます。

問題の背景

$z$がある曲線上をうごくときに$\frac1z$の存在範囲を考える問題【反転変換の問題】は、多くの入試問題で見かけます。東大の過去問(2017,2018など)でも定期的に見かけるので、メジャーな問題は何となく思い出せる程度にしておくと便利かと思います。

復習がてら、反転以外も色々入れたクイズを置いておきます。いずれも入試では頻出ですので、ぜひ挑戦してみてください。

軌跡の名前と概形を求めよ。

★Level1：基本

(1)　$|z-1|=1$のときの、$\frac1z, \ z^2, \ \frac{1}{z^2}$の軌跡

(2)　$Re(z)=1$のときの、$\frac1z, \ z^2, \ \frac{1}{z^2}$の軌跡

(3)　$Im(z)=1$のときの、$\frac1z, \ z^2, \ \frac{1}{z^2}$の軌跡

★★Level2：標準

(4)　$Re(z)+Im(z)=1$のときの、$\frac1z, \ z^2, \ \frac{1}{z^2}$の軌跡

(5)　$|z|=1$のときの、$z+\frac1z$の軌跡

(6)　$|z|=2$のときの、$z+\frac1z$の軌跡

★★★Level3：発展

(7)　$|z+\bar{z}-1|=2|z|$のときの、$\frac1z$の軌跡

(8)　$|Re(z)|+|Im(z)|=1$のときの、$\frac1z, \ z^2, \ \frac{1}{z^2}$の軌跡

(9)　$\big||z-1|-|z+1|\big|=\sqrt2$のときの、$\frac1z, \ z^2, \ \frac{1}{z^2}$の軌跡

★★★★(オマケ：難問)

(10)　$|z|=\sqrt2$のときの、$z+1+\frac{1}{z+1}$の軌跡

類題紹介

方程式 $x^3+1=0$ の解のうち，虚部が正であるものを $\alpha$ とする。複素数平面上の 3 点 $A(\alpha)$，$B(-1)$，$C(\overline{\alpha})$ を頂点とする $\triangle ABC$ を考える。$\triangle ABC$ の周上の点 $P(z)$ に対して，原点 $O$ を端点とし，$P(z)$ を通過する線上に $|w|=\frac{1}{|z|}$ をみたす点 $Q(w)$ をとるとき，次の問に答えよ。

(1)　$w=\frac{1}{\overline{z}}$ となることを示せ。

(2)　$P(z)$ が $\triangle ABC$ の周上を動くとき，$Q(w)$ が描く図形によって囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。

(東京慈恵会医大2019)
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