座標平面上の点$A(0,0),B(0,1),C(1,1),D(1,0)$を考える。実数$0< t < 1$に対して、線分$AB,BC,CD$を$t:(1-t)$に内分する点をそれぞれ$P_t,Q_t,R_t$とし、線分$P_tQ_t,Q_tR_t$を$t:(1-t)$に内分する点をそれぞれ$S_t,T_t$とする。さらに、線分$S_tT_t$を$t:(1-t)$に内分する点を$U_t$とする。また、点$A$を$U_0$,点$D$を$U_1$とする。

(1)点$U_t$の座標を求めよ。
(2)$t$が$0\leqq t\leqq 1$の範囲を動くときに点$U_t$が描く曲線と、線分$AD$で囲まれた部分の面積を求めよ。
(3)$a$を$0 < a < 1$を満たす実数とする。$t$が$0\leqq t \leqq a$の範囲を動くときに点$U_t$が描く曲線の長さを、$a$の多項式の形で求めよ。

(1) $x>0$ のとき、不等式 $\log x\leqq x-1$ を示せ。

(2) 次の極限を求めよ。 $$\lim_{n\rightarrow\infty}n\int_1^2\log\bigg(\frac{1+x^{\frac1n}}{2}\bigg)dx$$

平行四辺形$ABCD$において, $\angle ABC=\frac{\pi}{6}, \ AB=a, \ BC=b, \ a\leqq b$ とする。次の条件を満たす長方形$EFGH$を考え、その面積を$S$とする。

　　条件：点$A,B,C,D$はそれぞれ辺$EF,FG,GH,HE$上にある。

ただし、辺はその両端の点も含むものとする。

(1)$\angle BCG=\theta$とするとき、$S$を$a,b,\theta$を用いて表せ。

(2)$S$の取り得る値の最大値を$a,b$を用いて表せ。

この問いでは，0以上の整数の2乗になる数を平方数と呼ぶ。aを正の整数とし， $f_a(x)=x^2+x-a$ とおく。

(1) $n$を正の整数とする。$f_a(n)$ が平方数ならば，$n\le a$ であることを示せ。

(2) $f_a(n)$ が平方数となる正の整数 $n$ の個数を $N_a$ とおく。次の条件 (i)，(ii) が同値であることを示せ。

・(i) $N_a=1$ である。
・(ii) $4a+1$ は素数である。

$n$ を $2$ 以上の整数とする。$1$ から $n$ までの数字が書かれた札が各 $1$ 枚ずつ合計 $n$ 枚あり，横一列におかれている。$1$ 以上 $(n-1)$ 以下の整数 $i$ に対して，次の操作 $(T_i)$ を考える。

$(T_i)$：左から $i$ 番目の札の数字が，左から $(i+1)$ 番目の札の数字よりも大きければ，これら $2$ 枚の札の位置を入れかえる。そうでなければ，札の位置をかえない。

最初の状態において札の数字は左から $A_1, A_2, \cdots, A_n$ であったとする。この状態から $(n-1)$ 回の操作 $(T_1),(T_2),\cdots,(T_{n-1})$ を順に行った後，続けて $(n-1)$ 回の操作 $(T_{n-1}),\cdots,(T_2),(T_1)$ を順に行ったところ，札の数字は左から $1,2,\cdots,n$ と小さい順に並んだ。以下の問いに答えよ。

(1)$A_1$ と $A_2$ のうち少なくとも一方は $2$ 以下であることを示せ。

(2)最初の状態としてありうる札の数字の並び方 $A_1, A_2, \cdots, A_n$ の総数を $c_n$ とする。$n$ が $4$ 以上の整数であるとき，$c_n$ を $c_{n-1}$ と $c_{n-2}$ を用いて表せ。

複素数平面上の点 $\frac12$ を中心とする半径 $\frac12$ の円の周りから原点を除いた曲線を $C$ とする。

(1)曲線 $C$ 上の複素数 $z$ に対し，$\frac{1}{z}$ の実部は $1$ であることを示せ。

(2)$\alpha,\ \beta$ を曲線 $C$ 上の相異なる複素数とするとき，$\frac{1}{\alpha^2}+\frac{1}{\beta^2}$ がとりうる範囲を複素数平面上に図示せよ。

(3)$\gamma$ を (2) で求めた範囲に属さない複素数とするとき，$\frac{1}{\gamma}$ の実部がとりうる値の最大値と最小値を求めよ。